Quelle est la balle

(Solution)



Les 12 pièces étant désignées par des lettres, A, B, C, etc., on désignera par la lettre X celles qui seront trouvées bonnes.
Pour la première pesée, on met 4 balles dans chaque plateau et on en laisse 4 de côté.  Deux cas se présentent alors.  L'un sera facile à résoudre, l'autre difficile.

 

1er cas :
1ère pesée: Il y a équilibre entre les plateaux.
ABCD = EFGH
Toutes les balles étant égales en poids, donc bonnes, la pièce fausse se trouve parmi les balles restantes, I, J, K, L.

2e pesée: On laisse alors dans l'un des plateaux 3 des bonnes pièces (X) et l'on met dans l'autre 3 des 4 pièces douteuses, par exemple I, J, K, en gardant L de côté.  Il peut y avoir encore équilibre ou déséquilibre.
 
Équilibre
 XXX = IJK C'est dponc la pièce mise de côté L, qui est fausse.










 

Déséquilibre
XXX<IJK La pièce fausse est donc I, J ou K. En outre elle est plus lourde. (Si la balance avait penché de l'autre côté (>), elle aurait été plus légère.
3e pesée:

On compare la pièce fausse, L. à une pièce bonne quelconque, et l'on saura si elle est plus lourde ou plus légère.
 
 
 

 

On compare entre elles 2 des pièces douteuses, par exemple, I et J.  Dans le cas du déséquilibre, la pièce fausse est la plus lourde.  Dans le cas de l'équilibre, c'est la pièce qui n'aura pas été pesée, ici c'est K, qui est fausse.


2e cas:
 
1ère pesée: Il y a déséquilibre entre les plateaux:
ABCD<EFGH
La balle fausse est donc dans l'une de ces 8 balles.
2e pesée: 
a) On enlève 3 balles de l'un des plateaux, par exemple le plateau «lourd», eet on les met de côté (ici les pièces F, G, H).
b) On les remplace par 3 balles bonnes, prises parmi les 4 non pesées, évidemment bonnes, et que nous appellerons X.
c) La 4e pièce «lourde» (ici la balle E) qui, dans notre cas, se situe dans le plateau de droite, sera transférée dans le plateau de gauche, tandis que l'une des balles «légères» (ici D) sera enlevée du plateau de gauche et placée dans le plateau de droite.
Trois résultats peuvent provenir de cette seconde pesée:
1. Équilibre;
2. Déséquilibre dans le même sens que pour la première pesée, le plateau de droite demeurant «lourd»;
3. Déséquilibre dans le sens opposé, le plateau de droite devenant «léger».
 
Équilibre
ABCE = DXXX
La pièce fausse est donc l'une des trois pièces déjà pesées et mises de côté (F, G, H).  On sait en outre qu'elle est plus lourde que les autres, puisqu'elle provient du plateau lourd.
Déséquilibre dans le même sens
ABCE<DXXX
Le plateau «léger» étant demeuré «léger», la pièce fausse se trouve parmi celles qui n'ont pas changé de place, A, B ou C.  On sait en outre qu'elle est plus légère que les autres.
Déséqulibre dans le sens opposé
ABCE>DXXX
Le plateau «lourd» étant devenu «léger», et vice versa, la pièce fausse est l'une des deux pièces déplacées entre la première et la deuxième pesée, soit D ou E.

3e pesée :

 
On compare entre elles 2 des balles douteuses, par exemple F et G.  dans le cas du déséquilibre, la balle fausse est la plus lourde.  Dans le cas de l'équilibre, c'est la balle qui n'aura pas été pesée (ici H) qui est fausse. On procède comme dans le cas de l'équilibre, mais avec A, b, C et en recherchant comme balle fausse la plus légère. La balle fausse étant D (plus légère) ou E (plus lourde), on comparera l'une d'entre elles avec une balle bonne pour déterminer celle qui est fausse.
N.B.  On peut trouver d'autres façons de résoudre ce problèmes, par exemple en comparant, à la deuxième pesée, A B E et C D F.  La solution se simple en équilibre.  En cas de déséquilibre, la balle fausse se trouvera parmi les 3 qui auront été déplacées et sera, selon la position des plateaux, plus lourde ou plus légère.

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